Buena tarde!
Primer Pista!

Para el primer inciso del ejercicio 7 Sea G: P(a) ---> a x a inyectiva.

Dijimos que una buena idea para resolver el problema era inyectarle una clase...Y la manera preferida de hacerlo es usando aOR...

Asi, queremos construir una F: OR ----> a, inyectiva...... pues por cachitos...

F(0), F(1), F(2), F(3) y F(4) que sean cualesquiera elementos distintos de a...

El primer reto es definir F(n), para n >=5 ... Si ya tenemos definida la F hasta antes de n, vea que hay un subconjunto u de P ( F[n] ) tal que G (u) no puede estar en F[n] x F[n]...

A alguien ya le salio esa parte??? Den ideas..

Sin importar cómo definamos a F para n>4. Si n>4, F[n] tiene más de cuatro elementos, por lo que |P(F[n])|>|F[n]xF[n]| por lo que no existe una función inyectiva de P(F[n]) en F[n]xF[n], como G es inyectiva, entonces G restringida a P(F[n]) lo es, por lo que su codominio no puede ser F[n]xF[n], es decir, existe un u en P(F[n]) tal que G(u) no está en F[n]xF[n].

No sé, se me ocurre definir a F(n+1) como algún elemento de ((p_1[G[P(F[n])]])U(p_2[G[P(F[n])]]))\F[n], donde p_1 y p_2 son las proyecciones izquierda y derecha respectivamente (p_1(x,y)=x, p_2(x,y)=y). Por lo anterior, ((p_1[G[P(F[n])]])U(p_2[G[P(F[n])]]))\F[n] no es vacío y además es finito (pues n lo es). Y como F(n+1) no está en F[n], entonces F es inyectiva...
Lo malo es que no sé si pueda hacer eso sin usar el Axioma de Elección, estaba pensando que sí puesto que ((p_1[G[P(F[n])]])U(p_2[G[P(F[n])]]))\F[n] es finito. De todas formas, no sé cómo podría generalizar esto para todos los ordinales...
Tal vez usando que ((p_1[G[P(F[n])]])U(p_2[G[P(F[n])]]))\F[n] es bien ordenable si n es ordinal... no lo sé, sólo estoy diciendo lo que he pensado. ¿Qué opinan?

En realidad, basta ver que podemos ordenar de una BUENA manera al conjunto de todos los subconjuntos finitos de omega, y con ese orden ir eligiendo el F(n).

No estas tan equivocado en tu idea de las proyecciones.... Usa lo de arriba...

Pero sí conocemos un orden más o menos canónico de los subconjuntos finitos de omega, ya que existe una biyección canónica phi entre las funciones de 2^omega de soporte finito y los subconjuntos finitos de omega, que es tal que phi(f)={n | f(n)=1}, el conjunto es finito si f es de soporte finito.
Además, las funciones de 2^omega de soporte finito tienen el buen orden de la exponenciación de buenos ordenes que nos enseñaste, el antilexicográfico.
A los subconjuntos finitos de omega le damos el buen orden calcado por phi.

Entonces... ese buen orden le hereda un buen orden a P(n) que a su vez le da un buen orden a P(F[n]) por lo que podemos tomar al mínimo u de P(F[n]) tal que G(u) no está en F[n]xF[n].
Si G(u)=(x,y) entonces podemos más sencillamente definir a F(n+1)=x si x no está en F[n] o y si x sí está en F[n], de cualquier forma, F(n+1) no será un elemento de F[n], por lo que F definida de esta forma será inyectiva.
Por lo menos, ahora sabemos que omega entra inyectivamente en a... ¿Te parece bien Naim?